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Mandeldraw
(für Java1.1-kompatible Browser und Viewer)
von Hartmut Neubauer-Stankiewicz
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Anleitung
- Klicken Sie im Dialog "Julia-MandelControls" auf das Feld "Start".
- Warten Sie, bis die ganze Figur angezeigt wird.
- Nun können Sie aus der Original-Mandelbrotfigur Ausschnitte vergrößern. Dazu bewegen Sie die Maus zum unteren linken Ende des gewünschten Ausschnittes und ziehen mit gedrückter (linker) Maustaste zum oberen rechten Ende. Während des Ziehens wird der Ausschnitt als Rechteck dargestellt. Dann lassen Sie die Maustaste los.
Zusätzlich sollten Sie die Größe "Max. Iteration" erhöhen. Faustregel: Je kleiner der Ausschnitt, desto höher sollte die "max. Iteration" sein. Anschließend wieder "Start" drücken. Nun wird der von Ihnen gewählte Ausschnitt vergrößert.
- Diesen Vorgang können Sie beliebig oft wiederholen. Stattdessen können Sie auch zu bestimmten Punkten Julia-Mengen anzeigen. Dazu:
- klicken Sie das Feld "Julia" an;
- tippen Sie mit der Maustaste auf ein beliebiges Feld in der Mandelbrot-Figur bzw. dem gerade angezeigten Ausschnitt (Tip: besonders interessant sind die Randgebiete!);
- passen evtl. wieder die "max. Iteration" an (diesmal nach unten; irgendein Wert zwischen 50 und 100 tut's jetzt auch);
- und klicken abermals auf "Start".
- Nach kurzer Zeit wird eine neue Figur angezeigt. Ähnlich wie in Schritt 3 können Sie auch hier wieder Ausschnitte vergrößert anzeigen lassen oder auch die Randkoordinaten von Hand anpassen (in der Reihenfolge: links, unten, rechts, oben).
- Sie können nachträglich wieder eine Mandelbrot-Figur anzeigen, indem Sie das Feld "Mandelbrot" anklicken. Hinweis: Die originale Figur wird nur angezeigt, wenn Sie in die beiden Felder hinter "c-Real/Imag:" zweimal die Zahl 0 eintragen.
- Den Rechen- und Zeichenprozess können Sie durch Betätigen der "Stop"-Taste stets abbrechen. - Hinweis: Mit dem »Applet-Viewer« können Sie auch die Größe des Anzeigebereichs ändern. Sofort nachdem Sie dies getan haben, ziehen Sie kein neues Rechteck! Sondern betätigen Sie zunächst wieder die Schaltfläche »Start«.
- Den Wert für »Obere Grenze« brauchen Sie nicht zu verändern; jedoch können Sie zusätzliche Effekte erzielen, wenn Sie den Wert von »Innenmuster« anpassen. Um dies besser zu verstehen, ist jedoch etwas Mathematik notwendig.
- Seien die Funktionen Fn auf den komplexen Zahlen folgendermaßen definiert:
F0(z) = 0
F1(z) = -z
F2(z) = z2 - z
.
.
.
Fn(z) = (Fn-1(z))2 - z für n = 1, 2, 3 usw.
(Mathematiker nennen solche Funktionen auch »Polynome«)
Die Mandelbrot-Menge besteht nun genau aus den Punkten z, für die die Folge {Fn(z) | n = 1, 2, 3 ...} beschränkt ist, also nicht gegen unendlich geht. Dies gilt insbesondere für die Nullstellen der Polynome Fn (für n = 1, 2, ...). Dies sind die Zahlen z, für die gilt:
Fn(z) = 0
Da Fn ein Polynom des Grades 2n-1 ist, hat es im Komplexen auch 2n-1 Nullstellen. (Für n = 66 sind dies etwa so viel wie das Quadrat der Weltbevölkerung!!) Falls Sie den Wert »4« für »Innenmuster« nicht geändert haben (allgemein: falls dieser Wert größer als 0.25 ist), können Sie einige dieser Punkte gut sehen: es sind die Punkte, die durch konzentrische Kreise hervorgehoben werden. Ich nenne diese Punkte mal die »Augen« einer Figur.
Wenn Sie den Wert von n = »Max. Iteration« nun ändern, fällt folgendes auf:
- Bei jedem n > 0 ist in der Mitte des »Hauptapfels« ein »Auge« (nämlich genau im Nullpunkt).
- Der große »Nebenapfel« rechts des »Hauptapfels« hat nur bei geraden n ein »Auge«.
- Ist n durch 3 teilbar, so kann man zusätzlich u.a. in den großen »Nebenäpfeln« oben und unten, aber auch in dem Hauptkörper eines »Satelliten« (so nenne ich die kleinen Figuren, die dem gesamten »Apfelmännchen« selbstähnlich sind) auf der »Antenne« rechts »Augen« entdecken.
- Falls n durch 4 teilbar ist, findet man in dem »Nebenapfel«, der als nächster an den »großen Nebenapfel rechts« in Richtung Antenne angrenzt, ein Auge; desgleichen u.a. in kleineren »Nebenäpfeln« oben links und unten links sowie in »Satelliten«, die man ganz oben und unten finden kann.
Somit kann man feststellen, dass jeder »Nebenapfel« und jeder »Satellit« eine »Ordnung« hat: die kleinste Iterationszahl, bei der man in der Mitte dieser Figur eine Nullstelle finden kann.
(Bemerkung: Bei »Innenmuster« größer als 0.25 erfolgt folgende Berechnung für die Farbendarstellung: Von dem letzten berechneten Wert Fn(z) wird der Absolutwert und davon der Logarithmus berechnet; dieser wird mit der angegebenen Zahl multipliziert; davon wird die nächstkleinere ganze Zahl gebildet; sobald sich diese Zahl ändert, erfolgt ein Farbenwechsel.)
- Es gibt noch eine andere Möglichkeit, die Mandelbrot-Figur farblich zu gestalten. Dafür geben Sie unter »Innenmuster« eine sehr kleine, aber noch positive Zahl an (z.B. »0.001«). Je stärker Sie einen Ausschnitt vergrößert haben und je höher die Iterationszahl ist, desto kleiner muss diese Zahl sein. In diesem Fall hat jeder »Teilapfel« eine andere Farbe, die sich nach der »Ordnung« richtet:
- Der »Hauptkörper« (Ordnung 1) hat die Farbe rot.
- Der »große Nebenapfel rechts (Ordnung 2) ist rot mit kleiner Tendenz zu magenta.
- Die Teilfiguren der »Ordnung 3« sind magenta mit rotem Einschlag.
- Die Figuren der »Ordnung 4« sind magenta (rosa).
- Die Farbtöne für die Figuren der Ordnungen 5 bis 8 reichen von dunkel-orange bis hell-magenta.
- Die Farbtöne für die Figuren der Ordnungen 9 bis 12 reichen von indischgelb bis sehr hell magenta; von 13 bis 16 reichen die Farben von gelb bis weiß. Weiß sind auch alle Teilfiguren mit höheren Ordnungen sowie die Ränder der übrigen Figuren.
- Noch ein wichtiger Tip: Geben Sie als Dezimaltrenner stets einen Punkt ein, also z.B. »0.1« statt »0,1«!
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